문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 전자기파 방사 (문단 편집) == 구면 좌표계의 전파 방정식 == 진공의 구면좌표계에서 방사되는 전자기파의 방정식은 벡터 헬름홀츠 방정식으로 기술된다. ||<:> [math(\displaystyle \nabla^{2}\mathbf{V}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} \mathbf{V}}{\partial t^{2}}=0 )] || [math(\mathbf{V})]는 전기장 혹은 자기장이다. 다만, 이 방정식은 벡터가 포함되어 있기 때문에 통상적으로 풀기 어렵다. 따라서 다음과 같은 형태의 장을 고려하자. ||<:> [math(\displaystyle \mathbf{V}=\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla} \psi )] || 위에서 [math(\psi)]는 임의의 스칼라이다. 따라서 이 장의 형태는 기본적으로 [[외적]] 연산이 포함되어 있으므로, [math(\mathbf{r})]와 [math(\boldsymbol{\nabla} \psi)]에 수직이다. 따라서 [math(\mathbf{V})]는 구면에 접하는 방향으로 전파된다. 해당 [math(\mathbf{V})]를 헬름홀츠 방정식에 넣고, 단색광을 고려하고 있으므로 [math(\mathbf{V} \propto e^{-i \omega t})]임을 이용하면 아래와 같은 식으로 고칠 수 있다. ||<:> [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{r} \!\left( \nabla^{2}\psi+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\psi \right)=0 )] || 이 방정식을 일반적으로 만족시키려면 다음이 성립해야 한다. ||<:> [math(\displaystyle \nabla^{2}\psi+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\psi =0 )] || 따라서 여기서 나온 방정식을 만족시키는 스칼라 해를 찾고, 위에서 정의되었던 회전 연산을 거치면, 장을 구할 수 있다. 구면 좌표계에서 해당 방정식의 해는 ||<:> [math(\displaystyle \psi=\sum_{lm}C_{lm}\,h_{1}^{(1)}(kr)Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \equiv \sum_{lm} \psi_{lm} )] || 으로 주어지며, [math(C_{lm})]은 상수, [math(h_{1}^{(1)}(kr))]은 [[베셀 함수#s-4.3|제1종 구면 한켈 함수(spherical Hankel function of first kind)]], [math(Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi))]은 [[구면 조화 함수|구면 조화 함수(spherical harmonics)]]이다. 이제부터 가장 낮은 모드인 [math(\psi_{00})]을 고려해보자. ||<:> [math(\displaystyle \psi_{00} \propto -\frac{e^{ikr}}{kr} )] || 그런데 이 함수는 [math(r)]만 연관되어 있으므로 장은 생성될 수 없다. 이것은 직접 장을 구해보더라도 얻을 수 있다. 따라서 장이 생성되려면, [math(r)] 외에도 [math(\psi)]는 의존해야 함에 따라 전자기파가 방사될 수 있는 가장 낮은 모드는 [math(\psi_{10})]이다. 이 때, ||<:> [math(\displaystyle \psi_{10} \propto \frac{e^{ikr}}{kr} \!\left( 1+\frac{i}{kr} \right)\cos{\theta} )] || 를 얻는다. [math(\mathbf{V})]가 전기장이라면, 그것을 TE(transverse electric)라 한다. 따라서 위에서의 스칼라 방정식을 만족시키는 스칼라 해 [math(\psi)]를 찾았다면, 전기장은 ||<:> [math(\displaystyle \mathbf{E}=\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla} \psi )] || 으로 구할 수 있고, 자기장은 [[패러데이 법칙]]을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.[* 단색광을 고려하고 있으므로 모든 장의 시간 항은 [math( e^{-i \omega t})]인 점을 상기하라.] ||<:> [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=i \omega \mathbf{B} )] || 따라서 ||<:> [math(\displaystyle \mathbf{B}=\frac{\boldsymbol{\nabla} \times (\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla} \psi)}{i \omega } )] || 또한, [math(\mathbf{V})]가 자기장이라면, 그것을 TM(transverse magnetic)이라 부르며, TE와 같은 논법으로 ||<:> [math(\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla} \psi )] || 이고, [[앙페르 법칙]]을 사용하면 다음과 같이 쓸 수 있다. ||<:> [math(\displaystyle \mathbf{E}=-\frac{c^{2} }{i \omega }\boldsymbol{\nabla} \times (\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla} \psi) )] ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기